Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциальная энергия взаимодействия электрических зарядов: система точечных зарядов; система заряженных проводников; энергия заряженного конденсатора Потенциальная энергия системы двух точечных заряд

Силы взаимодействия электрических зарядов консервативны, следовательно, система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

Пусть даны два точечных неподвижных заряда q 1 и q 2 , находящиеся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией

; , (4.1)

где j 1,2 и j 2,1 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q 1 и зарядом q 1 в точке нахождения заряда q 2 .

, а . (4.3)

Следовательно,

. (4.4)

Для того чтобы в уравнение энергии системы оба заряда входили симметрично, выражение (4.4) можно записать в виде

. (4.5)

Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 и т.д., можно убедиться, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы

, (4.6)

где j i – потенциал создаваемый в точке нахождения q i всеми зарядами, кроме i - го.

При непрерывном распределении зарядов в элементарном объеме dV находится заряд dq = r×dV. Для определения энергии взаимодействия заряда dq можно применить формулу (4.6), перейдя в ней от суммы к интегралу:

, (4.7)

где j – потенциал в точке элемента объема dV.

Надо отметить, что между формулами (4.6) и (4.7) существует принципиальное различие. Формула (4.6) учитывает только энергию взаимодействия между точечными зарядами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого из точечных зарядов между собой (собственную энергию точечного заряда). Формула (4.7) учитывает как энергию взаимодействия между точечными зарядами, так и собственную энергию этих зарядов. При расчете энергии взаимодействия точечных зарядов она сводится к интегралам по объему V i точечных зарядов:

, (4.8)

где j i - потенциал в любой точке объема i-го точечного заряда;

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

где j i ¢ - потенциал, созданный другими точечными зарядами в этой же точке;

j i с – потенциал, созданный частями i-го точечного заряда в данной точке.

Так как точечные заряды можно представить сферически симметричными, то

(4.10)

где W ¢ определяется по формуле (4.6).

Значение собственной энергии зарядов зависит от законов распределения зарядов и от величины зарядов. Например, при равномерном сферическом распределении зарядов с поверхностной плотностью s

.

Следовательно,

. (4.11)

Из формулы (4.11) видно, что при R®0 величина W с ®¥. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным недостаткам понятия "точечный заряд".

Таким образом, формулу (4.6) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их собственной энергии. Формула (4.7) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, поэтому является более общей.

При наличии поверхностных зарядов вид формулы (4.7) несколько изменяется. Подынтегральное выражение этой формулы равно и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда dq, находясь в точке с потенциалом j. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли dq элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому для поверхностного распределения dq = s×dS. Следовательно, для энергии поля поверхностных зарядов

1) Электростатические силы взаимо­действия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенци­альной энергией.

Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точеч­ных зарядов Q 1 и Q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

где j 12 и j 21 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точке нахожде­ния заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 .

(33)

поэтому W 1 = W 2 = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно зарядыQ 3 , Q 4 , ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(35)

где j i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i -го.

2) Пусть имеется уединенный провод­ник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны: Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконеч­ности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

(37)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совер­шить, чтобы зарядить этот проводник:

Потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Пола­гая потенциал проводника равным j, найдем:

(39)

где - заряд проводника.

26. Энергия заряженного конденсатора . Как всякий заряженный проводник, конден­сатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Dj - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

27. Объемная плотность энергии электростатического поля. Преобразуем формулу (40), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов и воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e 0 eS/d ) и разности потенци­алов между его обкладками (Dj =Ed ), получим:

(41)

где V= Sd - объем конденсатора. Формула (41) показывает, что энергия конден­сатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - на­пряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(42)

Формулы (40) и (42) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля.

· сила тока I (служит количественной мерой электрического тока)- скалярная физи­ческая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

· плотность тока - физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площа­ди поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока

- вектор , ориентированный по направлению тока (т.е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов.

Единица плотности тока - ампер на метр в квадрате (А/м 2).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j , т. е.

· Выражение для плотности тока через среднюю скорость носителей тока и их концентрацию

За время dt через площадку dS пройдут заряды, отстоящие от нее не дальше чем на vdt (выражение для расстояния между зарядами и площадкой через скорость)

Заряд dq, прошедший за dt через dS

где q 0 - заряд одного носителя; n - число зарядов в единице объема (т.е их

концентрация): dS·v·dt - объем.

отсюда, выражение для плотности тока через среднюю скорость носителей тока и их концентрациюимеет следующий вид:

· постоянный ток – ток, сила и направление которого не изменяются со времени.

Где q - электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение провод­ника. Единила силы тока - ампер (А).

· сторонние силы и ЭДС источника тока

сторонние силы - силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов.

Эти силы имеют электромагнитную природу:

и их работа по переносу пробного заряда q пропорциональна q:

· Физи­ческая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при переме­щении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (э.д.с.), действующей в цепи:

где е называют электродвижущей силой источника тока. Знак «+» соответствует случаю, когда при движении источник проходит в направлении действия сторонних сил (от отрицательной обкладки к положительной), «-» - противоположному случаю

· Закон Ома для участка цепи

· Электрическое сопротивление

R – сопротивление проводника.

Единица сопротивления – Ом.

Для однородного проводника длиной l и сечением S:

ρ - удельное сопротивление

· Закон Ома для замкнутой цепи

Если электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 со­впадают, j 1 =j 2 ; тогда получаем закон Ома для замкнутой цепи:

· Закон Ома в локальной форме

Закон Ома для элементарного объема проводника.

Обозначим величину, обратную плотности, где - удельная проводимость.

Получим закон Ома в дифференциальной форме

· Удельное сопротивление (см. пункт 31)

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

Рисунок 6

Количество тепла, выделяемое в элементарном объеме с сопротивлением R при прохождении тока I в течение времени dt:

- закон Джоуля - Ленца.

Найдем плотность мощности:

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока.

Она равна

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Сила, действующая на электрический заряд, движущийся в магнитном поле со скоростью, называется силой Лоренца и выражается формулой

Вращающий момент сил, можно определить с.о.:

Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой

где - вектор магнитного момента рамки с током ( -вектор магнитной индукции, количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I

где S - площадь поверхности контура (рамки) ,

n - единичный вектор нормали к по­верхности рамки.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

[B] – Тл (Тесла) .

Магнитное поле является силовым, следовательно, его можно изображать, с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.

Свойства линий магнитной индукции:

 замкнуты, т.к. в природе нет магнитных зарядов;

 вектор В направлен по касательной к линии магнитной индукции;

 густота линий магнитной индукции пропорциональна модулю вектора В.

Движение заряженных частиц в магнитном поле

Выражение для силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол a между векторами v и В равен 0 или p. Тогда по формуле (32) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.

Вектор скорости параллелен вектору магнитной индукции (рис.9)

Рисунок 9

Частица движется равномерно и прямолинейно, вдоль магнитного поля.

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v , перпен­дикулярной вектору В , то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центро­стремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности (рис.2).

Рисунок 2

Линии индукции направлены за чертеж, В = const. Ускорение

Нормальное ускорение.

Частица движется по окружности такого радиуса:

Время одного полного оборота:

т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (q/m ) частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v< На этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц.

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом a к вектору В (рис. 1), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолиней­ного движения вдоль поля со скоростью v || =v cosa ; 2) равномерного движения со скоростью v ^ =v sina по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

плоскости, перпендикулярной полю.

Радиус окружности определяется формулой (34) (в данном случае надо заменить v на v ^ =v sina ). В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 1). Шаг винтовой линии

Подставив в последнее выражение (35), получим

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость заряженной частицы составляет угол a с направлением векто­ра В неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с ростом В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле .

Лекция 2.6.

Энергия взаимодействия зарядов

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов. Энергию взаимодействия можно трактовать как энергию первого заряда в поле второго (cм.(2.1.3))

Поскольку оба представления равноправны, энергию взаимодействия этих зарядов можно записать следующим образом

где - i -тый точечный заряд системы, - потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами системы, кроме i -того, в точке расположения заряда .

Если заряды распределены непрерывно, то, представляя систему зарядов как совокупность элементарных зарядов и переходя к интегрированию, получим выражение

где - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов первого шарика, - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов второго шарика, - энергия взаимодействия элементарных зарядов первого шарика с элементарными зарядами второго шарика. Энергии и называют собственными энергиями зарядов и . Энергию называют энергией взаимодействия зарядов и .

Энергия уединенного проводника и конденсатора

Пусть проводник имеет заряд и потенциал . Энергия проводника . Поскольку проводник является эквипотенциальной областью, то потенциал выносится из-под знака интеграла. Окончательно

Энергия конденсатора.

Пусть и - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки, а и - соответственно отрицательной. Тогда энергия конденсатора с учетом и запишется

Энергия электрического поля.

Физический смысл энергии конденсатора это не что иное, как энергия электрического поля сосредоточенного внутри него . Получим выражение для энергии плоского конденсатора через напряженность. Будем пренебрегать краевыми эффектами. Воспользуемся формулой , и выражением для емкости плоского конденсатора .

Подынтегральное выражение здесь имеет смысл энергии, заключенной в объеме. Это подводит к важной идее о локализации энергии в самом поле.

Это предположение находит подтверждение в области переменных полей. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, которые переносят энергию.

Таким образом, носителем энергии является само поле .

Анализируя последнее выражение, можем ввести объемную плотность энергии, т.е. энергии, заключенной в единице объема

.

(2.6.9)

Мы получили (2.6.8) и (2.6.9) в частном случае однородного, изотропного диэлектрика в однородном электрическом поле. В этом случае векторы и сонаправлены и можно записать

Принцип суперпозиции.

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции . В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора напряженности зависит от знака заряда Q: если Q больше 0, то вектор напряженности направлен от заряда, если Q меньше 0, то вектор напряженности направлен к заряду. Величина напряжённости зависит от величины заряда, среды, в которой находится заряд, и уменьшается с увеличением расстояния.

Напряженность электрического поля, которую создает заряженная плоскость вблизи своей поверхности:

Итак, если в задаче требуется определить напряженность поля системы зарядов, то надо действовать по следующему алгоритму:

1. Нарисовать рисунок.

2. Изобразить напряженность поля каждого заряда по отдельности в нужной точке. Помните, что напряженность направлена к отрицательному заряду и от положительного заряда.

3. Вычислить каждую из напряжённостей по соответствующей формуле.

4. Сложить вектора напряжённостей геометрически (т.е. векторно).

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом и с электрическим полем. Любое взаимодействие описывает потенциальной энергией. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов рассчитывается по формуле:

Обратите внимание на отсутствие модулей у зарядов. Для разноименных зарядов энергия взаимодействия имеет отрицательное значение. Такая же формула справедлива и для энергии взаимодействия равномерно заряженных сфер и шаров. Как обычно, в этом случае расстояние r измеряется между центрами шаров или сфер. Если же зарядов не два, а больше, то энергию их взаимодействия следует считать так: разбить систему зарядов на все возможные пары, рассчитать энергию взаимодействия каждой пары и просуммировать все энергии для всех пар.

Задачи по данной теме решаются, как и задачи на закон сохранения механической энергии: сначала находится начальная энергия взаимодействия, потом конечная. Если в задаче просят найти работу по перемещению зарядов, то она будет равна разнице между начальной и конечной суммарной энергией взаимодействия зарядов. Энергия взаимодействия так же может переходить в кинетическую энергию или в другие виды энергии. Если тела находятся на очень большом расстоянии, то энергия их взаимодействия полагается равной 0.

Обратите внимание: если в задаче требуется найти минимальное или максимальное расстояние между телами (частицами) при движении, то это условие выполнится в тот момент времени, когда частицы движутся в одну сторону с одинаковой скоростью. Поэтому решение надо начинать с записи закона сохранения импульса, из которого и находится эта одинаковая скорость. А далее следует писать закон сохранения энергии с учетом кинетической энергии частиц во втором случае.